前面我们得到关于全纯函数导数的估计式

\[|f'(z_{0})|\leq\frac{1}{r}\cdot\sup\limits_{z\in B(z_{0},r)}|f(z)|\]

如果我们设$f(z)$在整个复平面$\mathbb C$上有界,在上式中令$r\to\infty$即得

\[f'(z_{0})=0\]

由$z_{0}$的任意性可知$f'(z)=0$在$\mathbb C$上恒成立.这就说明$f(z)$常值了.可以简单证明一下,这一点根据Cauchy-Riemann方程是显然的.

以上便是Liouville定理的内容：若全纯函数$f(z)$在$\mathbb C$上有界,则必为常数.

当然也可以这样说明，因为$f$全纯,那么在任一闭圆盘$\overline{B}(0,R)$上,$f$有Taylor级数

\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^n\]

其中

$$|a_{n}|\leq\frac{M}{R^n}$$,令$R\to\infty$可得$a_{n}=0(n=1,2,\cdots)$,从而

$$f(z)=a_{0}$$

如果引入无穷远点$\infty$可微性的概念:设$f(z)$在无穷远点全纯,定义为函数$f\left(\frac{1}{z}\right)$在$z=0$处全纯.

我们便可将Liouville定理叙述为:在扩充复平面$\mathbb C^*$上的全纯函数必为常数.

Liouville定理可以用来证明代数学基本定理：设$f(z)\in\mathbb C_{n}[x]$,若$f(z)$没有零点,那么$\frac{1}{f(z)}$在$\mathbb C$上全纯,且由于$\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=\infty$,则$\frac{1}{f(z)}$有界,根据Liouville定理可知$f(z)$为常数,矛盾!